¿Qué es la Regla de la Cadena?
La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones compuestas (una función dentro de otra).
Fórmula: Si y = f(g(x)), entonces y' = f'(g(x)) · g'(x)
En palabras: Derivamos la función externa, dejando el interior tal cual, y multiplicamos por la derivada de la función interna.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Función con Potencia
f(x) = (2x + 1)⁵
Paso 1: Identificar funciones interna y externa
- Interna: g(x) = 2x + 1
- Externa: f(u) = u⁵
Paso 2: Derivar cada función
- f'(u) = 5u⁴
- g'(x) = 2
Paso 3: Aplicar regla de la cadena
f'(x) = 5(2x + 1)⁴ · 2 = 10(2x + 1)⁴
Ejemplo 2: Función Trigonométrica
f(x) = sen(3x²)
Paso 1: Identificar funciones
- Interna: g(x) = 3x²
- Externa: f(u) = sen(u)
Paso 2: Derivar cada función
- f'(u) = cos(u)
- g'(x) = 6x
Paso 3: Aplicar regla de la cadena
f'(x) = cos(3x²) · 6x = 6x·cos(3x²)
Ejemplo 3: Función Exponencial
f(x) = e^(x³ - 4x)
Paso 1: Identificar funciones
- Interna: g(x) = x³ - 4x
- Externa: f(u) = eᵘ
Paso 2: Derivar cada función
- f'(u) = eᵘ
- g'(x) = 3x² - 4
Paso 3: Aplicar regla de la cadena
f'(x) = e^(x³ - 4x) · (3x² - 4)
Ejercicios para Practicar
Intenta resolver estos ejercicios y luego verifica tus respuestas.
1. f(x) = (x² - 7)⁴
Solución:
f'(x) = 4(x² - 7)³ · (2x) = 8x(x² - 7)³
2. g(x) = ln(4x⁵)
Solución:
g'(x) = (1/(4x⁵)) · (20x⁴) = (20x⁴)/(4x⁵) = 5/x
Nota: También se puede simplificar primero usando propiedades de logaritmos
3. h(x) = 5 · e^(-2x)
Solución:
h'(x) = 5 · e^(-2x) · (-2) = -10e^(-2x)
4. y = cos(√x) = cos(x^(1/2))
Solución:
dy/dx = -sen(√x) · (1/(2√x)) = -sen(√x)/(2√x)
5. k(x) = 1/(3x - 2)² = (3x - 2)⁻²
Solución:
k'(x) = -2(3x - 2)⁻³ · (3) = -6/(3x - 2)³
Desafío (Opcional)
Si te sientes seguro, intenta con estos ejercicios más complejos:
6. f(x) = sen³(e^(2x)) = [sen(e^(2x))]³
Solución:
Esta es una cadena triple:
1. Externa: u³ → derivada: 3u²
2. Media: sen(v) → derivada: cos(v)
3. Interna: e^(2x) → derivada: 2e^(2x)
f'(x) = 3[sen(e^(2x))]² · cos(e^(2x)) · 2e^(2x)
f'(x) = 6e^(2x) · sen²(e^(2x)) · cos(e^(2x))
7. g(x) = tan(ln(5x² + 1))
Solución:
Esta es otra cadena triple:
1. Externa: tan(u) → derivada: sec²(u)
2. Media: ln(v) → derivada: 1/v
3. Interna: 5x² + 1 → derivada: 10x
g'(x) = sec²(ln(5x² + 1)) · (1/(5x² + 1)) · 10x
g'(x) = (10x · sec²(ln(5x² + 1)))/(5x² + 1)